Histórias Bizarras 6 – Dimensões, parte 1

Na geometria descritiva, a equação y=x representa uma linha reta, isto é, para cada valor de y, corresponde um valor de x. Uma linha reta é uma figura de apenas uma dimensão: comprimento.
y=x2 é uma parábola, uma figura que só pode ser representada em duas dimensões: comprimento e altura.
y=x3 é uma figura geométrica chamada de “parabolóide de revolução”, que é a forma aproximada de uma peteca, isto é só pode ser representada em três dimensões: comprimento, altura e profundidade.
O mundo seria um local muito simples se não existisse a equação y=x4. Xis na quarta potência representa um parabolóide de 4 dimensões. Existem ainda 5, 10, 100, infinitas dimensões físicas. Existem dimensões fracionárias também y=x7,6, por exemplo.
Somos seres tridimensionais. Não podemos perceber dimensões superiores a terceira, ainda que isso não seja uma tarefa totalmente impossível para o nosso cérebro. Relata-se que alguns indivíduos altamente treinados, como yogues e químicos altamente especializados conseguem “ver” em quatro dimensões: ao olhar para a face de um modelo de uma determinada molécula, é possível enxergar, e compreender, as ligações atômicas que estão por trás. Drogas alucinógenas também possibilitam esse efeito.
Ainda que as pessoas comuns não consigam perceber as outras dimensões, estas existem e podem ser matematicamente manipuladas. E não estão apenas no campo das idéias, ou melhor, talvez estejam justamente na fronteira entre o mundo palpável e o mundo das idéias.
Uma perspectiva é a representação de uma figura de três dimensões, em duas. Uma fotografia impressa no papel plano retira a profundidade da imagem, ainda que tenhamos uma boa idéia do que era o objeto real. Da mesma forma, é possível desenhar perspectivas de objetos de múltiplas dimensões, o que se tornou tarefa simples com o advento da computação gráfica. As “perspectivas” polidimensionais, ou seja desenhos na tela do computador de figuras criadas por equações de mais de três dimensões se chamam fractais.
Um fractal interessante e que pode ser desenhado à mão é o chamado hipercubo, um cubo de quatro dimensões que é também chamado de teserato.

Não olhe muito para o teserato, senão você vai acabar enlouquecendo! O interessante do hipercubo é que é formado por cubos de três dimensões, mas é muito difícil de conseguirmos perceber o erro do desenho, é uma bizarrice que está aí, diante dos nossos olhos, mas, ao contrário dos desenhos de Escher, não é apenas um truque gráfico, mas sim uma realidade polidimensional.
Outra estranheza desta figura de quatro dimensões, é que ela não pode ser representada em três, ela só existe em quatro ou em duas dimensões. Não é possível fazer um modelo com arames, uma espécie de “perspectiva tridimensional” de um hipercubo, por mais que isso pareça simples em uma primeira vista.
No entanto podemos compreendê-lo matematicamente. Sabemos que, se a diagonal de um quadrado é raiz quadrada de dois e a de um cubo, raiz de três, a maior diagonal possível em um hipercubo é raiz de quatro, ou seja, duas vezes o valor do lado. Ao mesmo tempo, o volume desta forma geométrica estranha é o valor do lado elevado na quarta potência. Sabemos ainda que um hipercubo possui 24 faces quadradas, 16 vértices, 32 arestas e 8 cubos. Sabemos tudo sobre ele, pela boa e velha geometria euclidiana, só não conseguimos torná-lo real a nossa percepção.
Onde estão as outras dimensões? Por aí, por aqui, nos acompanhando a cada instante, por mais que as desprezemos.